Когда решать вопрос о доле сына документально? Во время бракоразводного процесса или можно позже, когда разведемся?

Вера, здравствуйте. Расторжение брака и право Вашего сына проживать в какой-либо квартире, которая Вам не принадлежит, - это две совершенно разные вещи. Одно никак не связано с другим. Если Вы хотите, чтобы отец обеспечил сына жильем (оплачивал аренду, принял участие в покупке), то Вы вправе поставить этот вопрос на разрешение суда, но расторжение брака от разрешения этого вопроса не зависит никак.

Отец ребенка какие-то варианты по обеспечению сына жильем предлагает? На что он согласен и что именно хотите получить Вы в качестве жилья для ребенка?

Если отец не против, то может оформить 1/2 доли в этой квартире на сына (подарить ему, например). Но он не обязан этого делать. Не исключено, что если Вы предложите такой вариант, он смело откажет, и это его право. Если он потребует Вас покинуть эту квартиру, это тоже его право, однако тут у Вас будут варианты действий. В любом случае на этом этапе вопрос обеспечения сына жильем лучше решить путем переговоров и заключения соглашения (договора), и только если не будет результата, тогда уже в суд.